a) Ta có AK là đường trung bình của tam giác ABC, do đó AK cắt BC tại I và AI là đường cao của tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AI là đường phân giác của góc BAC.

Ta có AK = KA (do K là điểm đối xứng của A qua đoạn thẳng BC), và AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

Vậy ta có AB = AK và AB // KC (do AI là đường phân giác của góc BAC).

Do đó, tứ giác ABKC là hình thoi.

b) Ta có M là trung điểm của AC, N là điểm đối xứng của I qua M.

Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC.

Vì N là điểm đối xứng của I qua M nên MN = MI.

Ta cũng có AI // BC (do AI là đường phân giác của góc BAC) và BC là đường chân của đường cao AI.

Vậy ta có MN // BC và MN = MI.

Do đó, tứ giác ANCI là hình chữ nhật.

c) Gọi D là trung điểm của AB.

Ta cần chứng minh BN, AI và DM đồng quy.

Vì D là trung điểm của AB nên AD = DB.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AD // BC và AD là đường phân giác của góc BAC.

Vậy ta có AD // BC và AD là đường phân giác của góc BAC.

Do đó, ta có tứ giác ABDC là hình bình hành.

Vì ABDC là hình bình hành nên BN cắt AD tại điểm M (do D là trung điểm của AB).

Vậy ta có BN // AD và BN = NM (do M là trung điểm của AC).

Vì AI // BC và AI là đường phân giác của góc BAC nên AI cắt BC tại điểm I.

Vậy ta có AI cắt BC tại điểm I và AI // BC.

Vậy ta có BN // AD, AI // BC và DM // AB.

Do đó, BN, AI và DM đồng quy.