Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và phân giác ngoài của góc B cắt AC ở I và D. Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F.Chứng minh rằng BI. IC = AI. IE CE = CF

Để chứng minh a) BI.IC = AI.IE, ta sử dụng định lí phân giác trong tam giác ABC:
Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có:
$\frac{AI}{IC} = \frac{AB}{BC}$
$\Rightarrow AI.IC = AB.BC$
Tương tự, áp dụng định lí phân giác trong tam giác BIC, ta có:
$\frac{BI}{IE} = \frac{BC}{CE}$
$\Rightarrow BI.IE = BC.CE$
Từ hai biểu thức trên, ta có:
$AI.IC = AB.BC = BI.IE = BC.CE$
$\Rightarrow BI.IC = AI.IE$
Vậy ta đã chứng minh được a).

Để chứng minh b) CE = CF, ta sử dụng hai tam giác đồng dạng.
Ta có:
$\angle CEF = \angle CAB$ (do CE // AB)
$\angle CFE = \angle CBI$ (do CF // BI)
Vậy ta có hai góc bằng nhau, từ đó suy ra hai tam giác CEF và CAB đồng dạng.
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này:
$\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB}$
$\Rightarrow CE.CB = CF.CA$
Vì $CB = CA$ (cạnh chung), nên ta có:
$CE.CB = CF.CA$
$\Rightarrow CE = CF$
Vậy ta đã chứng minh được b).