Cho tam giác ABC, M thuộc BC sao cho vecto MB = -2MC

Để phân tích vectơ GM theo hai vectơ AB và AC, ta cần tìm vectơ GM và phân tích nó thành tổng hai vectơ AB và AC.

Gọi vectơ GM là m. Ta cần tìm m.

Theo định nghĩa của trọng tâm, ta có:
m = (1/3)(MA + MB + MC)

Với vectơ MB = -2MC, ta có:
m = (1/3)(MA + (-2MC) + MC)
= (1/3)(MA - MC)

Ta biết rằng G là trọng tâm của tam giác ABC, nên ta có:
AG = (2/3)AM và CG = (2/3)CM

Từ đó, ta có:
MA = AG - AM = (2/3)AM - AM = -(1/3)AM
MC = CG - CM = (2/3)CM - CM = -(1/3)CM

Thay vào công thức của m, ta có:
m = (1/3)(MA - MC)
= (1/3)(-(1/3)AM - (-(1/3)CM))
= (1/3)(1/3)(AM + CM)
= (1/9)(AM + CM)

Vậy vectơ GM có thể được phân tích thành:
GM = (1/9)(AM + CM) = (1/9)(AB + BM + AC + CM)
= (1/9)(AB + AC + (BM + CM))
= (1/9)(AB + AC + BC)

Vậy vectơ GM có thể được phân tích thành tổng hai vectơ AB và AC theo tỷ lệ 1:9.