a) Ta có ID = IA (điều kiện đã cho) và IB = IC (do I là trung điểm của BC).
Vì ID = IA và IB = IC, nên tam giác AIC = tam giác DIB (theo bổ đề cạnh - cạnh - cạnh).

Tiếp theo, ta chứng minh AC // BD.
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Áp dụng định lí Thales trong tam giác ABC, ta có:
AE/EC = AI/IC = 1/2 (vì I là trung điểm của BC)
Do đó, AE = EC.
Tương tự, ta có BE = ED.
Vậy, ta có AE = EC và BE = ED, suy ra AC // BD (theo định lí cắt tỉa).

b) Ta chứng minh AH // DK.
Vì AI // DK (do ID = IA), và AI // AH (do AH vuông góc BC tại H), nên AH // DK (theo định lí hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng thì hai đường thẳng còn lại cũng song song với nhau).

Tiếp theo, ta chứng minh AH = DK.
Gọi F là giao điểm của AH và DK.
Áp dụng định lí Thales trong tam giác ABC, ta có:
AF/FH = AI/IH = 1/2 (vì I là trung điểm của BC)
Do đó, AF = FH.
Tương tự, ta có DF = FK.
Vậy, ta có AF = FH và DF = FK, suy ra AH = DK (theo định lí cắt tỉa).

c) Ta chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng.
Gọi G là giao điểm của AH và BD.
Áp dụng định lí Thales trong tam giác ABC, ta có:
AG/GH = AI/IH = 1/2 (vì I là trung điểm của BC)
Do đó, AG = GH.
Tương tự, ta có BG = GD.
Vậy, ta có AG = GH và BG = GD, suy ra M là trung điểm của AH và BD.
Tương tự, ta chứng minh N là trung điểm của DK và AC.
Vậy, ta có ba điểm M, I, N thẳng hàng (do M và N là trung điểm của hai đoạn thẳng song song).