Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi D là hình chiếu của H trên AB, E là hình chiếu của H trên AC

Để chứng minh các phần a, b, c, d, e, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đường tròn.

a) Ta có tam giác vuông AHG, với đường cao AH. Vì vậy, theo tính chất của tam giác vuông, ta có AG^2 = AH^2 + HG^2. Nhưng HG = HB, nên AG^2 = AH^2 + HB^2. Điều này cho thấy tam giác vuông AHG thoả mãn định nghĩa của đường tròn (O) với đường kính HB. Vì vậy, D thuộc đường tròn (O).

Tương tự, ta có tam giác vuông AHE, với đường cao AH. Vì vậy, theo tính chất của tam giác vuông, ta có AE^2 = AH^2 + HE^2. Nhưng HE = HC, nên AE^2 = AH^2 + HC^2. Điều này cho thấy tam giác vuông AHE thoả mãn định nghĩa của đường tròn (O') với đường kính HC. Vì vậy, E thuộc đường tròn (O').

b) Ta có AG là đường cao của tam giác ABC, nên AG vuông góc với BC. Tương tự, ta có AE vuông góc với BC. Vì vậy, AG và AE là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và (O') tại điểm G và E. Do đó, (O) và (O') tiếp xúc ngoài.

c) Ta đã chứng minh ở phần b rằng AG và AE là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và (O') tại điểm G và E. Vì vậy, AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó.

d) Ta có tam giác vuông AHG, với đường cao AH. Vì vậy, theo tính chất của tam giác vuông, ta có AH^2 = AG^2 - HG^2. Nhưng HG = HB, nên AH^2 = AG^2 - HB^2. Tương tự, ta có AH^2 = AE^2 - HC^2. Nhưng AE = AG, nên AH^2 = AG^2 - HC^2. Từ hai phương trình trên, ta có AG^2 - HB^2 = AG^2 - HC^2. Loại bỏ AG^2 ở hai vế, ta được HB^2 = HC^2. Điều này cho thấy HB = HC. Vì vậy, tam giác ABC là tam giác cân tại A. Mà AD là đường cao của tam giác ABC, nên AD cắt BC tại trung điểm M của BC. Vì vậy, AM = MB. Từ đó, ta có AD = 2AM. Nhưng AH cũng là đường cao của tam giác ABC, nên AH cắt BC tại trung điểm N của BC. Vì vậy, AN = NB. Từ đó, ta có AH = 2AN. Nhưng AM = AN, nên AD = AH. Từ đó, ta có AH = DE.

e) Ta đã chứng minh ở phần a rằng D thuộc đường tròn (O) và E thuộc đường tròn (O'). Vì vậy, DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.