a) Ta có MA = AN (vì A là trung điểm PN) và MP ⊥ AB nên AB ⊥ MP. Do đó, tam giác MAB vuông tại A. Tương tự, ta có AC ⊥ MN và tam giác MAC vuông tại A. Vậy tứ giác MCAB là hình chữ nhật.

b) Ta có MA = AN (vì A là trung điểm PN) và MP ⊥ AB nên AB ⊥ MP. Do đó, tam giác MAB vuông tại A. Tương tự, ta có AC ⊥ MN và tam giác MAC vuông tại A. Vậy tứ giác MCAB là hình chữ nhật. Mà trong hình chữ nhật, đường chéo chia đôi nhau, nên BC là đường trung bình của tam giác MNP.

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng MH và BC. Ta cần chứng minh HK = HB.

Vì MH ⊥ PN và AB ⊥ MP nên MH || AB. Do đó, ta có:
∠HMB = ∠BAM (cùng là góc vuông)
∠HBM = ∠MAB (cùng là góc vuông)

Vậy hai tam giác HMB và BAM đồng dạng. Từ đó, ta có:
HM/BA = MB/AM
HM = (MB/AM) * BA

Vì MCAB là hình chữ nhật nên MB = AC và AM = AN. Thay vào công thức trên, ta có:
HM = (AC/AN) * BA

Vì AC ⊥ MN nên ∠CAN = ∠MNA. Từ đó, ta có:
∠CAN + ∠CAN = 90°
∠CAN = 45°

Vậy ∠CAN = ∠MNA = 45°. Mà ∠CAN = ∠BAM (cùng là góc vuông) nên tam giác BAM cân tại A. Từ đó, ta có BA = AM.

Thay vào công thức trên, ta có:
HM = (AC/AN) * AM
HM = AC

Vậy HM = AC. Mà H là giao điểm của đường thẳng MH và BC nên HK = HB.

Vậy HK = HB.