a) Ta có AB = 2AD và BH vuông góc với AC, nên tam giác ABH và ADC đồng dạng theo nguyên tắc đồng dạng góc vuông. Do đó, ta có:
$\angle BAH = \angle DAC$ và $\angle ABH = \angle ACD$
Vì M là trung điểm của AH nên ta có AM = MH. Tương tự, ta có PN = NC.
Khi đó, ta có:
$\angle MAB = \angle MAH + \angle BAH = \angle BAH + \angle BAH = \angle DAC + \angle ACD = \angle ADC$
Tương tự, ta cũng có $\angle NDC = \angle ADC$
Vậy ta có $\angle MAB = \angle NDC$
Do đó, ta có MN // AB và MN = AB/2 = CP/2 (do AB = 2AD và P là trung điểm của CD)
Từ đó suy ra tứ giác MNCP là hình bình hành.

b) Ta có MN // AB và MN = AB/2 (do M là trung điểm của AH và N là trung điểm của BH)
Vì BH vuông góc với AC nên $\angle ABH = \angle ACD$
Tương tự, ta có $\angle BAH = \angle DAC$
Do đó, ta có $\angle MAB = \angle NDC$
Vậy ta có $\angle MAB = \angle NDC$
Khi đó, ta có $\angle MPB = \angle MAB + \angle ABH = \angle NDC + \angle ACD = \angle NDC + \angle NDC = 2\angle NDC$
Vì $\angle NDC$ là góc của tam giác vuông NDC nên $\angle NDC \leq 90^\circ$
Từ đó suy ra $\angle MPB \leq 180^\circ$
Vậy ta có MP vuông góc với MB.