Cho 2025 điểm trên mặt phẳng, biết rằng trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại mà khoảng cách giữa 2 điểm đó nhỏ hơn 1. CMR: có thể đựng được 1 đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 1013 điểm trong các điểm đã cho

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Giả sử có 2025 điểm trên mặt phẳng, ta chia mặt phẳng thành các hình vuông có cạnh bằng 1. Vì mỗi hình vuông có diện tích là 1, nên theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất một hình vuông chứa ít nhất 1013 điểm.

Ta xem hình vuông này như một hình tròn bán kính 1, vì mỗi điểm trong hình vuông cách nhau không quá 1. Vì vậy, ta có thể đặt một hình tròn bán kính 1 tại tâm của hình vuông này, và hình tròn này chứa ít nhất 1013 điểm.

Vậy ta đã chứng minh được rằng có thể đựng được một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 1013 điểm trong các điểm đã cho.