Cho nửa đường tròn (O) bán kính AB. Gọi Ax; By là các tia vuông góc với AB (Ax; By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B)

a) Ta có:
- Do Ax và By là các tia vuông góc với AB nên Ax và By cắt nhau tại O, là tâm của nửa đường tròn (O).
- Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại M với Ax, F là giao điểm của tiếp tuyến tại M với By.
- Ta có: ∠CME = 90° (do tiếp tuyến tại M vuông góc với đường tròn), ∠CME = ∠CMA (cùng chắn cung CM), ∠CMA = ∠CDA (cùng chắn cung CD), ∠CDA = ∠CDO (cùng chắn cung CD), ∠CDO = 90° (do tiếp tuyến tại M vuông góc với đường tròn).
- Vậy ta có: ∠COD = 90°.
- Từ đó suy ra: CD = AC + BD.

b) Ta có:
- Do AD cắt BC tại B nên theo định lí Menelaus, ta có: $\frac{AC}{CB}.\frac{BN}{ND}.\frac{DM}{MA} = 1$.
- Mà MN//BD nên $\frac{BN}{ND} = \frac{BM}{MD}$.
- Vậy ta có: $\frac{AC}{CB}.\frac{BM}{MD}.\frac{DM}{MA} = 1$.
- Từ đó suy ra: $\frac{AC}{CB} = \frac{MA}{BM}$.
- Mà H là trung điểm của AM nên $\frac{MA}{BM} = \frac{AH}{HB}$.
- Vậy ta có: $\frac{AC}{CB} = \frac{AH}{HB}$.
- Từ đó suy ra: AH//CD.
- Mà H là trung điểm của AM nên AH = HM.
- Vậy ta có: HM//CD.

c) Ta có:
- Gọi G là giao điểm của OC và AB.
- Ta có: OG//MN (do OG và MN đều vuông góc với AB).
- Mà MN//BD (theo b).
- Vậy ta có: OG//BD.
- Mà O là tâm của nửa đường tròn nên OG vuông góc với BD.
- Vậy ta có: OG vuông góc với BD.
- Mà H là trung điểm của AM nên AH = HM.
- Vậy ta có: AH = HM = OG.
- Từ đó suy ra: O, H, C thẳng hàng.