Kiểm nghiệm và chứng minh toán học (chứng minh đúng hoặc sai) mệnh đề sau

Để chứng minh mệnh đề trên, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = 0:
(√(2)+1)^(0+1) - (√(2)-1)^(0+1) = (√(2)+1) - (√(2)-1) = 2

Vì 2 là một số nguyên, nên mệnh đề đúng với n = 0.

Giả sử mệnh đề đúng với một số nguyên k bất kỳ, tức là:
(√(2)+1)^(k+1) - (√(2)-1)^(k+1) là số nguyên.

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1:
(√(2)+1)^(k+1+1) - (√(2)-1)^(k+1+1) = (√(2)+1)^(k+2) - (√(2)-1)^(k+2)

Ta có thể mở rộng công thức như sau:
(√(2)+1)^(k+2) - (√(2)-1)^(k+2) = (√(2)+1)^(k+1) * (√(2)+1) - (√(2)-1)^(k+1) * (√(2)-1)

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(√(2)+1)^(k+1) * (√(2)+1) = (√(2)+1)^(k+1) * (√(2)+1) = (√(2)+1)^(k+1) * √(2) + (√(2)+1)^(k+1) = (√(2)^(k+1) * (√(2)+1) + (√(2)+1)^(k+1)

Tương tự, ta có:
(√(2)-1)^(k+1) * (√(2)-1) = (√(2)^(k+1) * (√(2)-1) + (√(2)-1)^(k+1)

Kết hợp hai công thức trên, ta có:
(√(2)+1)^(k+1) * (√(2)+1) - (√(2)-1)^(k+1) * (√(2)-1) = (√(2)^(k+1) * (√(2)+1) + (√(2)+1)^(k+1) - (√(2)^(k+1) * (√(2)-1) - (√(2)-1)^(k+1)

Ta có thể đơn giản hóa công thức trên thành:
2 * (√(2)^(k+1) + (√(2)+1)^(k+1) - (√(2)-1)^(k+1)

Vì (√(2)^(k+1), (√(2)+1)^(k+1), (√(2)-1)^(k+1) đều là số nguyên (do giả sử quy nạp), nên 2 * (√(2)^(k+1) + (√(2)+1)^(k+1) - (√(2)-1)^(k+1) cũng là số nguyên.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (√(2)+1)^(n+1) - (√(2)-1)^(n+1) là số nguyên với mọi số nguyên n.