Cho tam giác ABC có AB bằng AC

a) Ta có ab = ac, m là trung điểm của bc, suy ra am = mc.
Gọi I là trung điểm của ae, ta có ai = ie (do I là trung điểm của ae) và am = mc (do m là trung điểm của bc).
Vì am = mc và ai = ie, nên tam giác aim = cme (cạnh và góc giữa hai tam giác bằng nhau).
Do đó, tam giác aim = tam giác cme (theo góc - cạnh - góc).
Từ đó suy ra tam giác amb = tam giác amc (theo góc - cạnh - góc).

b) Ta có mf vuông góc với ac và me vuông góc với ab.
Vì am = mc (do m là trung điểm của bc), nên mf cũng là đường cao của tam giác amc.
Tương tự, me cũng là đường cao của tam giác amb.
Vì mf và me là hai đường cao của tam giác amb và tam giác amc, nên mf song song với me (do hai đường cao song song với nhau).
Từ đó suy ra ef song song với bc (do ef là đường cao của tam giác amb và tam giác amc).

c) Gọi n là giao điểm của đường thẳng vuông góc với ab và đường thẳng vuông góc với ac.
Ta cần chứng minh a, m, n thẳng hàng.
Vì n là giao điểm của đường thẳng vuông góc với ab và đường thẳng vuông góc với ac, nên nằm trên cả hai đường thẳng này.
Do đó, nằm trên đường thẳng am và đường thẳng mc.
Vì a là điểm thuộc đường thẳng am và m là điểm thuộc đường thẳng mc, nên nằm trên đường thẳng am và đường thẳng mc.
Từ đó suy ra a, m, n thẳng hàng.