a) Ta có tam giác ABC vuông tại B, với AB = 6cm và AC = 10cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 6^2 + 10^2
BC^2 = 36 + 100
BC^2 = 136
BC = √136 ≈ 11.66cm

Do đó, BC ≈ 11.66cm.

Đường cao BH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông BAH và BCH.

Trong tam giác BAH, ta có:
AH^2 = AB^2 - BH^2
AH^2 = 6^2 - BH^2
AH^2 = 36 - BH^2

Trong tam giác BCH, ta có:
CH^2 = BC^2 - BH^2
CH^2 = 136 - BH^2

Vì BH là đường cao chung của tam giác ABC, nên AH = CH.

Do đó, ta có hệ phương trình:
36 - BH^2 = 136 - BH^2
36 = 136
Đây là một phương trình vô lý, không có nghiệm.

Vậy, không thể tính được BH, AH và CH.

b) Kẻ HM vuông góc AB tại M và HN vuông góc BC tại N.

Ta có:
BM = AB - AM
BM = 6 - 6/10 * AC
BM = 6 - 6/10 * 10
BM = 6 - 6
BM = 0

Do đó, BM = 0.

HN = BC - CN
HN = BC - BC/10 * CH
HN = BC - BC/10 * AC/2
HN = BC - BC/10 * 10/2
HN = BC - BC/10 * 5
HN = BC - BC/2
HN = BC/2

Do đó, HN = BC/2 = 11.66/2 = 5.83cm.

BM = 0 và HN = 5.83cm, nên BMHN là một hình chữ nhật.

MN = BM + HN
MN = 0 + 5.83
MN = 5.83cm.

Vậy, MN = 5.83cm.

c) Gọi I là trung điểm của HC.

Ta có HI = IC = 1/2 * HC

Vì I là trung điểm của HC, nên IH = IC = 1/2 * HC.

Vì MN là đường chéo của hình chữ nhật BMHN, nên MN cắt IH tại điểm O.

Do đó, IO = OH = 1/2 * MN = 1/2 * 5.83 = 2.915cm.

Vậy, IO = OH = 2.915cm.

Ta có IN = IH + OH = 1/2 * HC + 2.915

Vì HC = 10cm, nên IN = 1/2 * 10 + 2.915 = 5 + 2.915 = 7.915cm.

Vậy, IN = 7.915cm.

Ta có MN = 5.83cm và IN = 7.915cm.

Vì IO = OH, nên IOH là một tam giác vuông cân.

Vì MN cắt IH tại điểm O và IO = OH, nên IN vuông góc NM.

Vậy, IN vuông góc NM.