Cho tam giác DEF có 3 đường trung tuyến DM, EN, FP đồng quy tại G

Để chứng minh điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus và định lí Ceva.

a) Ta có tam giác DEF có 3 đường trung tuyến DM, EN, FP đồng quy tại G, nên theo định lí Menelaus, ta có:
$\frac{GD}{DG} \cdot \frac{GQ}{QF} \cdot \frac{FE}{EM} = 1$

Vì GD = GQ, nên ta có:
$\frac{GQ}{QF} \cdot \frac{FE}{EM} = 1$

Tương tự, ta có:
$\frac{GQ}{QD} \cdot \frac{DM}{MF} = 1$

Kết hợp hai biểu thức trên, ta được:
$\frac{GQ}{QF} \cdot \frac{FE}{EM} \cdot \frac{GQ}{QD} \cdot \frac{DM}{MF} = 1$

$\Rightarrow \frac{GQ}{QF} \cdot \frac{GQ}{QD} = \frac{MF}{FE} \cdot \frac{EM}{DM}$

$\Rightarrow \frac{GQ^2}{QF \cdot QD} = \frac{MF}{FE} \cdot \frac{EM}{DM}$

$\Rightarrow \frac{GQ^2}{\frac{1}{2}EF \cdot \frac{1}{2}FD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{GQ^2}{\frac{1}{4}EF \cdot FD} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow GQ^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}EF \cdot FD$

$\Rightarrow GQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}EF \cdot FD$

Vậy ta đã chứng minh được EG, GQ, QE của tam giác EGQ = 2/3 các đường trung tuyến của tam giác DEF.

b) Ta có:
$\frac{GK}{KE} \cdot \frac{EM}{MF} \cdot \frac{FH}{HG} = 1$

Vì GK = GQ, nên ta có:
$\frac{GQ}{QE} \cdot \frac{EM}{MF} \cdot \frac{FH}{HG} = 1$

Tương tự, ta có:
$\frac{GQ}{QF} \cdot \frac{FE}{EM} \cdot \frac{HM}{MG} = 1$

Kết hợp hai biểu thức trên, ta được:
$\frac{GQ}{QE} \cdot \frac{EM}{MF} \cdot \frac{FH}{HG} \cdot \frac{GQ}{QF} \cdot \frac{FE}{EM} \cdot \frac{HM}{MG} = 1$

$\Rightarrow \frac{GQ}{QE} \cdot \frac{GQ}{QF} \cdot \frac{HM}{HG} = 1$

$\Rightarrow \frac{GQ^2}{QF \cdot QE} \cdot \frac{HM}{HG} = 1$

$\Rightarrow \frac{GQ^2}{\frac{1}{2}EF \cdot \frac{1}{2}FD} \cdot \frac{HM}{HG} = 1$

$\Rightarrow \frac{GQ^2}{\frac{1}{4}EF \cdot FD} \cdot \frac{HM}{HG} = 1$

$\Rightarrow GQ^2 = \frac{1}{4}EF \cdot FD$

Vậy ta đã chứng minh được các đường trung tuyến GK, EM, QH của tam giác EGQ lần lượt bằng nửa các cạnh DE, EF, FD của tam giác DEF.