Cho A nằm ngoài (O) . kẻ tiếp tuyến AB,AC của (O) . AO cắt BC tại H . Kẻ đường kính BD, AD cắt (O) tại điểm thứ hai tại M

a) Ta có:
- Tứ giác ABOC nội tiếp vì góc ở tâm bằng góc ngoài tại A.
- Góc AOB = 180° - góc ACB (cùng chắn cung AB) = góc AOC (cùng chắn cung AC) = góc BOC.

b) Ta có:
- Góc ABD = 90° (do BD là đường kính) => AB vuông góc với BD.
- Tứ giác ABDM nội tiếp (do góc ABD = góc AMD = 90°).
- Vậy, góc AMB = góc ADB = 90°.
- Góc AOC = 180° - góc BOC = 180° - góc AOB = góc AOM.
- Vậy, tứ giác AOMC nội tiếp.
- Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác AOMC ta có: AO.MC + AM.OC = AC.OM => AO.IM + AM.OC = AC.OM => IM = AC.

c) Ta có:
- Góc AHD = 90° (do AD là đường kính) => AD vuông góc với HD.
- Góc AHD = góc ABD = 90° => A, C, P thẳng hàng (do góc ACP = góc AHD = 90°).