Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác và tính tỉ số cần tìm.

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:
AH // DE (do AD và BE là hai đường trung tuyến của tam giác ABC)
=> AH/HD = AG/GF (theo định lí chia đôi)
=> AH/HD = 2 (vì F là trung điểm của AG)
=> AH = 2HD

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác CEF và đường thẳng BMH ta có:
(CM/ME) * (EB/BF) * (FH/HC) = 1
=> (CM/ME) * (1/2) * (1/2) = 1
=> CM/ME = 4

Vậy tỉ số cần tìm là BM/BE = (BM + MC)/BE = (ME * 4 + ME)/BE = 5ME/BE = 5/4.

Vậy tỉ số BM/BE là 5/4.