Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A, B )

a) Ta có:
\(\angle EFM = \angle EBA\) (cùng chắn cung EB trên nửa đường tròn)
\(\angle EMK = \angle EAK\) (cùng chắn cung EK trên nửa đường tròn)
\(\angle EBA = \angle EAK\) (do AE là phân giác của góc IAM)
Do đó, ta có \(\angle EFM = \angle EMK\), suy ra tứ giác EFMK nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle EAI = \angle EBI\) (cùng chắn cung EB trên nửa đường tròn)
\(\angle EBI = \angle EMI\) (do IB // Ax)
\(\angle EAI = \angle EMI\) (cùng chắn cung EA trên nửa đường tròn)
Do đó, tam giác EAI đồng dạng tam giác EMI.
Từ đó, ta có: \(\frac{AI}{IM} = \frac{EA}{EM} = \frac{EB}{EM} = \frac{IB}{IM}\)
Suy ra: \(AI \cdot IB = IM^2\)

c) Ta có:
\(\angle BAF = \angle EAF\) (cùng chắn cung EA trên nửa đường tròn)
\(\angle EAF = \angle EHF\) (do AE // HF)
\(\angle EHF = \angle BHF\) (do BE // AH)
Do đó, tam giác BAF cân tại B.

d) Ta có:
\(\angle AKH = \angle AEH\) (cùng chắn cung AE trên nửa đường tròn)
\(\angle AEH = \angle ABH\) (do AE // BH)
\(\angle ABH = \angle ABK\) (do BH // AK)
\(\angle ABK = \angle AKF\) (do AK // BF)
Do đó, tứ giác AKFH là hình thoi.