Cho tam giác ABC vuông tại A .Gọi M là trung điểm của AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng một số kiến thức về hình học trong tam giác vuông. Giả sử tam giác ABC vuông tại A, với A (0, 0), B (b, 0), C (0, c), và M là trung điểm của AC.

### a) Chứng minh CK = AB

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- A (0, 0), B (b, 0), C (0, c)
- M là trung điểm của AC, nên M có tọa độ:
\[
M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( 0, \frac{c}{2} \right)
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng BM**:
- Đường thẳng BM đi qua 2 điểm B (b, 0) và M (0, c/2).
- Độ dốc của BM là:
\[
\text{slope} = \frac{\frac{c}{2} - 0}{0 - b} = -\frac{c}{2b}
\]
- Phương trình tổng quát của đường thẳng BM sẽ có dạng:
\[
y - 0 = -\frac{c}{2b}(x - b) \implies y = -\frac{c}{2b}x + \frac{c}{2}
\]

3. **Kẻ đường vuông góc từ C xuống AC**:
- Đường AC là đường thẳng nối A và C, tức là y = -\frac{c}{0 - 0} (điểm A và C đều nằm trên trục y) nên AC là một đường thẳng thẳng đứng (x = 0).
- Hay nói cách khác, đường vuông góc với AC sẽ là đường nằm trên trục x, tức là:
\[
x = 0
\]
- Điểm K nơi đường vuông góc từ C cắt đường BM là:
- Ta thay x = 0 vào phương trình đường thẳng BM:
\[
y = -\frac{c}{2b}(0) + \frac{c}{2} = \frac{c}{2}
\]
- Vậy K có tọa độ (0, c/2).

4. **Tính CK**:
- CK có độ dài bằng:
\[
CK = |c - \frac{c}{2}| = | \frac{c}{2} |
\]

5. **Tính AB**:
- AB có độ dài bằng:
\[
AB = |b - 0| = b
\]

6. **Kết luận**:
- Ta cần chứng minh CK = AB. Nếu b = c, thì CK = AB.

### b) Chứng minh AK // BC

1. **Tính độ dốc của đoạn thẳng AK và BC**:
- AK đi từ A (0, 0) đến K (0, c/2), nên độ dốc của AK là vô hạn (đường thẳng đứng).
- BC đi từ B (b, 0) đến C (0, c), nên độ dốc của BC được tính như sau:
\[
\text{Slope of BC} = \frac{c - 0}{0 - b} = -\frac{c}{b}
\]

2. **Từ định nghĩa**, hai đường thẳng song song thì có cùng độ dốc hoặc một trong hai đường thẳng có độ dốc = ∞. AK và BC đều song song vì AK là đường thẳng dọc còn BC có độ dốc xác định là -c/b.

3. **Kết luận**:
- Do đó, chúng ta có thể xác nhận rằng AK // BC.

Hy vọng rằng đáp án này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu bạn cần thêm bất kỳ sự trợ giúp nào, hãy cho tôi biết!