Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kì trên BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường tròn vuông góc với DM tại H, kéo dài BH cắt DC tại K

Để tìm vị trí của M trên cạnh BC sao cho (S^2ABC + S^2DCM) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho tổng diện tích của hai tam giác ABC và DCM là nhỏ nhất.

Gọi x = BM, ta có CM = a - x.

Diện tích của tam giác ABC là S^2ABC = (a^2)/2.

Diện tích của tam giác DCM là S^2DCM = (a - x)^2/2.

Tổng diện tích của hai tam giác là S^2 = S^2ABC + S^2DCM = (a^2)/2 + ((a - x)^2)/2.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của S^2, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S^2 = (a^2)/2 + ((a - x)^2)/2.

Đạo hàm của S^2 theo x là S'(x) = -a + x.

Để tìm điểm cực tiểu của hàm số S^2, ta giải phương trình S'(x) = 0:

-a + x = 0
x = a.

Vậy điểm M cần tìm là điểm trên cạnh BC sao cho BM = a, tức là M là điểm trung điểm của cạnh BC. Khi đó, (S^2ABC + S^2DCM) đạt giá trị nhỏ nhất.