1) Ta có AB // MN (do AB là tiếp tuyến của (O,R) và MN là cát tuyến của (O,R)), suy ra góc AOB = góc ANM (cùng chắn) và góc AOC = góc AMN (cùng chắn). Do đó, tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Ta có góc AMN = góc ABC (cùng ngoại tiếp), góc ANM = góc ACB (cùng ngoại tiếp). Áp dụng định lý đường tròn ngoại tiếp, ta có AM.AN = AB.AC.

3) Ta có góc NFB = góc NCB (cùng ngoại tiếp), góc NBF = góc NAC (cùng nội tiếp). Do đó, tam giác NBF đồng dạng với tam giác NAC. Tương tự, tam giác NCF đồng dạng với tam giác NAB. Từ đó, ta có NB/NF = NA/NC và NC/NF = NA/NB. Suy ra, NB.NC = NF^2. Áp dụng định lý tiếp tuyến, ta có NF^2 = NM.NN = NO^2 - R^2. Do đó, NB.NC = NO^2 - R^2. Từ đó, ta có NB.NC = NO^2 - R^2 = NA^2 - R^2 = NF^2, suy ra tam giác NBF đồng dạng với tam giác NCF. Do đó, góc NFB = góc NCF, tức F, M, O thẳng hàng.

4) Gọi G là giao điểm của d dây BC và dây MO. Ta có góc GNM = góc GCB (cùng ngoại tiếp), góc GNM = góc GOM (cùng nội tiếp). Suy ra, tam giác GNM đồng dạng với tam giác GCB. Tương tự, tam giác GON đồng dạng với tam giác GBC. Từ đó, ta có GN/GM = GB/GC và GC/GM = GO/GN. Suy ra, GN.GM = GO^2 - R^2. Tương tự như trên, ta có GN.GM = GO^2 - R^2 = GA^2 - R^2 = GM^2, suy ra tam giác GNM đồng dạng với tam giác GOM. Do đó, góc GNM = góc GOM, tức M, E, O thẳng hàng. Từ đó, ba điểm P, E, O thẳng hàng.