a. Ta có:
\(\angle AMI = \angle ACB\) (cùng chắn cung AC)
\(\angle AOM = \angle ACB\) (cùng chắn cung AC)
Vậy tứ giác AMIO nội tiếp.

b. Ta có:
\(\angle MCI = \angle MBI\) (cùng chắn cung MB)
\(\angle MCB = \angle MIB\) (cùng chắn cung MB)
Vậy tứ giác MCIB nội tiếp.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác MCIB ta được:
\(MC.BI = MB.CI + MI.BC\)
Vì \(MI = MC\) (vì M là trung điểm AC)
Nên \(MC.BI = MB.CI + MC.BC\)
\(\Rightarrow MC.BD = MB.CI\)

c. Gọi E là giao điểm của tia phân giác của góc COM và MB.
Ta có:
\(\angle MCE = \angle MCO\) (vì CE là tia phân giác của góc COM)
\(\angle MCO = \angle MBO\) (cùng chắn cung MO)
\(\angle MBO = \angle MBE\) (vì ME là tia phân giác của góc MBC)
Vậy \(\angle MCE = \angle MBE\)
\(\Rightarrow CE\) vuông góc với \(MB\) (do cặp góc đối của hai góc tương đương)