a) Ta có:
$\angle ABH = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle BAC = \angle BAH$ (cùng chắn cung BC)
$\angle AHB = \angle ACB$ (cùng chắn cung AC)
Vậy, theo góc, ta có $\Delta ABH \sim \Delta ABC$.

b) Ta có:
$\frac{AH}{AB} = \frac{AC}{BC}$ (do $\Delta ABH \sim \Delta ABC$)
$\frac{HB}{AB} = \frac{BC}{AC}$ (do $\Delta ABH \sim \Delta ABC$)
Kết hợp hai công thức trên, ta được:
$2AH = \frac{2AH}{AB} \cdot AB = \frac{AC}{BC} \cdot AB = \frac{AC \cdot AB}{BC} = HC \cdot HB$

Vậy, $2AH = HB \cdot HC$.

c) Ta có $HD = HA$ (do $HD = HA$), nên tam giác AHD đều.
Khi đó, ta có $\angle AHD = 60^\circ$.
Do $DE \parallel AH$, nên $\angle ADE = \angle AHD = 60^\circ$.
Vậy, tam giác ADE cũng là tam giác đều.
Từ đó, ta có $AE = AD = AB$.
Vậy, $AE = AB$.