Cho ∆ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), CK vuông góc với ΑΒ (Κ thuộc ΑΒ). BH cắt CK tại E

a) Ta có:
- ∠HBC = 90° (do BH vuông góc với AC)
- ∠KCB = 90° (do CK vuông góc với AB)
- ∠HBC = ∠KCB (cùng bằng 90°)
- BC = BC (cạnh chung)
Vậy theo trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g), ta có ∆HBC = ∆KCB.
b) Ta đã chứng minh được ∆HBC = ∆KCB, suy ra BH = CK.
Do đó, ta có:
- ∠EBC = ∠HBC = 90°
- ∠ECB = ∠KCB = 90°
- BC = BC (cạnh chung)
Vậy theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có ∆EBC là tam giác cân.
c) Gọi M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.
Vì ∆HBC = ∆KCB, nên BH = CK.
Khi đó, ta có:
∠HBM = ∠KCM (cùng bằng 90°)
∠HMB = ∠KMC (do BM = MC)
Vậy theo trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g), ta có ∆HBM = ∆KCM.
Do đó, AM = MC.
Vậy A, E, M thẳng hàng.