a) Ta có:
\(\angle AEB = \angle AFB = 90^\circ\) (do AE và AF là đường cao của tam giác ABC)
\(\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ\) (do AD là đường cao của tam giác ABC)
Do đó, tứ giác ABDE nội tiếp trong đường tròn (O).

b) Ta có:
\(\angle HFI = \angle HAI = \angle HAB = \angle HCB = \angle HCF\)
\(\angle HIF = \angle HAF = \angle HAC = \angle HBC = \angle HBE\)
Do đó, tứ giác HIFC nội tiếp.
Tương tự, ta chứng minh được tứ giác ENFM nội tiếp.

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác HIFC và ENFM, ta có:
\(HF.CK = HI.CF + FI.CH = HM.EN + FM.HN = HK.CF\)
\(NE = NF\) (do tứ giác ENFM nội tiếp)

Vậy ta đã chứng minh được \(HF.CK = HK.CF\) và \(NE = NF\).