Cho đường tròn (O; R), dây cung AB < 2R. Kẻ đường kính CD vuông góc với AB tại điểm I (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M khác B và C, MD cắt AB tại E

a) Ta có:
\(\angle ECI = \angle MCI\) (vì IC là đường cao của tam giác IMC)
\(\angle MCI = \angle MEI\) (vì tứ giác EMCI nội tiếp)
Vậy tứ giác EMCI nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle EMD = \angle ECI\) (cùng chắn cung EC)
\(\angle ECI = \angle MCI\) (vì IC là đường cao của tam giác IMC)
\(\angle MCI = \angle MDB\) (cùng chắn cung MB)
Vậy tứ giác EMD và MDB đồng dạng.
Từ đó suy ra: \(\frac{DE}{DB} = \frac{DM}{DB}\)
\(DE.DM = DB^2\)

c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng EK. Ta cần chứng minh NM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Ta có: \(\angle MCI = \angle MEI\) (tứ giác EMCI nội tiếp)
\(\angle MEI = \angle MNI\) (do N là trung điểm của EK)
Vậy NM là tiếp tuyến của đường tròn (O) đi qua trung điểm của đoạn thẳng EK.

d) Ta có:
\(\angle BEI = \angle BCI\) (cùng chắn cung BC)
\(\angle BCI = \angle MCI\) (vì IC là đường cao của tam giác IMC)
\(\angle MCI = \angle MEI\) (tứ giác EMCI nội tiếp)
Vậy \(\angle BEI = \angle MEI\)
Từ đó suy ra: \(\frac{BE}{IE} = \frac{BM}{IM} = \frac{BK}{IA}\) (theo định lí đồng dạng tam giác)
Vậy \(BE/IE = BK/IA\)