Để rút gọn biểu thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận. Biểu thức ban đầu là:

\[
\left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1}
\]

### Bước 1: Rút gọn \(\left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - \sqrt{3}}\)

Đầu tiên, ta rút gọn \(\frac{\sqrt{3} - 1}{3 - \sqrt{3}}\):

\[
\frac{\sqrt{3} - 1}{3 - \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}
\]

Mẫu số:

\[
(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6
\]

Tử số:

\[
(\sqrt{3} - 1)(3 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot 3 - 1 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]

Vậy:

\[
\frac{\sqrt{3} - 1}{3 - \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Tiếp theo, ta nhân với \(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[
\left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} - 3}{6}
\]

### Bước 2: Rút gọn \(\frac{1}{\sqrt{3} - 1}\)

Rationalize the denominator:

\[
\frac{1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
\]

### Bước 3: Rút gọn \(\frac{2}{\sqrt{3} + 1}\)

Rationalize the denominator:

\[
\frac{2}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1
\]

### Bước 4: Tổng hợp lại các phần đã rút gọn

\[
\frac{\sqrt{3} - 3}{6} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} - (\sqrt{3} - 1)
\]

Đưa về mẫu số chung là 6:

\[
\frac{\sqrt{3} - 3}{6} + \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{6} - \frac{6(\sqrt{3} - 1)}{6}
\]

\[
= \frac{\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3} + 3 - 6\sqrt{3} + 6}{6}
\]

\[
= \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 3 + 3 + 6}{6}
\]

\[
= \frac{-2\sqrt{3} + 6}{6}
\]

\[
= \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6}
\]

\[
= 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Vậy, biểu thức đã rút gọn là:

\[
1 - \frac{\sqrt{3}}{3}
\]