Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Lấy \(D\), \(E\) thuộc \(AB\), \(AC\) sao cho \(\angle DME = \angle B\).

a) Chứng minh tam giác \(BDM\) đồng dạng với tam giác \(CME\):

Ta có:
- \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\).
- \(\angle DME = \angle B\).

Xét hai tam giác \(BDM\) và \(CME\):
- \(\angle BDM\) và \(\angle CEM\) là các góc đối đỉnh nên \(\angle BDM = \angle CEM\).
- \(\angle DME = \angle B\) (giả thiết).

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có \(\triangle BDM \sim \triangle CME\).

b) Chứng minh \(BD \times CE\) không đổi:

Từ \(\triangle BDM \sim \triangle CME\), ta có:
\[
\frac{BD}{DM} = \frac{CM}{ME} \quad \text{và} \quad \frac{DM}{ME} = \frac{BD}{CE}
\]

Suy ra:
\[
\frac{BD}{CE} = \frac{DM}{ME}
\]

Do đó:
\[
BD \times ME = DM \times CE
\]

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\). Do đó, \(DM\) và \(ME\) là các đoạn thẳng cố định khi \(D\) và \(E\) di chuyển trên \(AB\) và \(AC\). Vì vậy, \(BD \times CE\) là một hằng số không đổi.

c) Chứng minh \(DM\) là phân giác của góc \(BDE\):

Xét tam giác \(BDM\) và tam giác \(CME\) đã được chứng minh đồng dạng ở phần a. Ta có:
\[
\frac{BD}{DM} = \frac{CM}{ME}
\]

Do đó:
\[
\frac{BD}{CE} = \frac{DM}{ME}
\]

Điều này có nghĩa là:
\[
\frac{BD}{DE} = \frac{DM}{ME}
\]

Theo định lý phân giác, \(DM\) là phân giác của góc \(BDE\).

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.