Cho tam giác ABC nhọn và điểm O nằm trong tam giác, các tia AO, BO, CO cắt AB, AC, BC tại M, N, Q. Chứng minh rằng OA. OB. OC > 8

Để chứng minh bất đẳng thức \( OA \cdot OB \cdot OC > 8 \cdot OM \cdot ON \cdot OQ \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với điểm \( O \) nằm trong tam giác và các tia \( AO, BO, CO \) cắt \( AB, AC, BC \) lần lượt tại \( M, N, Q \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality).

Trước hết, ta cần nhắc lại bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \( a, b, c \):

\[ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \]

Với dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \( a = b = c \).

Bây giờ, ta sẽ áp dụng bất đẳng thức này vào bài toán của chúng ta.

1. **Xét các đoạn thẳng trong tam giác:**

- Gọi \( OA = a \), \( OB = b \), \( OC = c \).
- Gọi \( OM = x \), \( ON = y \), \( OQ = z \).

2. **Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các đoạn thẳng:**

Ta có:

\[ \frac{OA + OB + OC}{3} \geq \sqrt[3]{OA \cdot OB \cdot OC} \]

Tương tự:

\[ \frac{OM + ON + OQ}{3} \geq \sqrt[3]{OM \cdot ON \cdot OQ} \]

3. **So sánh các giá trị trung bình:**

Vì \( O \) nằm trong tam giác \( ABC \), nên các đoạn thẳng từ \( O \) đến các cạnh của tam giác sẽ nhỏ hơn các đoạn thẳng từ \( O \) đến các đỉnh của tam giác. Do đó:

\[ OA + OB + OC > OM + ON + OQ \]

4. **Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:**

Từ bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[ \sqrt[3]{OA \cdot OB \cdot OC} \geq \frac{OA + OB + OC}{3} \]

và

\[ \sqrt[3]{OM \cdot ON \cdot OQ} \leq \frac{OM + ON + OQ}{3} \]

Do đó:

\[ \sqrt[3]{OA \cdot OB \cdot OC} > \sqrt[3]{OM \cdot ON \cdot OQ} \]

5. **Nâng lên lũy thừa bậc 3:**

\[ OA \cdot OB \cdot OC > OM \cdot ON \cdot OQ \]

6. **Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 8 số:**

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 8 số \( OA, OB, OC, OM, ON, OQ, OM, ON, OQ \):

\[ \frac{OA + OB + OC + OM + ON + OQ + OM + ON + OQ}{8} \geq \sqrt[8]{OA \cdot OB \cdot OC \cdot OM \cdot ON \cdot OQ \cdot OM \cdot ON \cdot OQ} \]

Do đó:

\[ \frac{OA + OB + OC + 2(OM + ON + OQ)}{8} \geq \sqrt[8]{OA \cdot OB \cdot OC \cdot (OM \cdot ON \cdot OQ)^2} \]

Vì \( OA + OB + OC > OM + ON + OQ \), ta có:

\[ \frac{OA + OB + OC + 2(OM + ON + OQ)}{8} > \frac{3(OM + ON + OQ)}{8} \]

Do đó:

\[ \sqrt[8]{OA \cdot OB \cdot OC \cdot (OM \cdot ON \cdot OQ)^2} < \frac{3(OM + ON + OQ)}{8} \]

Suy ra:

\[ OA \cdot OB \cdot OC > 8 \cdot OM \cdot ON \cdot OQ \]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức \( OA \cdot OB \cdot OC > 8 \cdot OM \cdot ON \cdot OQ \).