Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và công thức trong hình học phẳng, đặc biệt là định lý Pythagoras và các công thức lượng giác.

1. **Tìm độ dài các cạnh:**

- Đầu tiên, chúng ta biết rằng BH là đường cao từ đỉnh B xuống cạnh AC, và H nằm giữa A và C. Do đó, ta có:
\[
AH = 3 \text{ cm}, \quad HC = 6 \text{ cm}
\]
Suy ra:
\[
AC = AH + HC = 3 + 6 = 9 \text{ cm}
\]

- Góc \( \angle HBC = 60^\circ \). Ta cần tìm độ dài BH. Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông BHC:
\[
\sin(60^\circ) = \frac{BH}{BC}
\]
\[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{BC}
\]
\[
BH = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHC:
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
\[
BC^2 = \left(BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 6^2
\]
\[
BC^2 = \frac{3}{4}BC^2 + 36
\]
\[
BC^2 - \frac{3}{4}BC^2 = 36
\]
\[
\frac{1}{4}BC^2 = 36
\]
\[
BC^2 = 144
\]
\[
BC = 12 \text{ cm}
\]

- Từ đó, ta có thể tính BH:
\[
BH = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AB^2 = 3^2 + (6\sqrt{3})^2
\]
\[
AB^2 = 9 + 108
\]
\[
AB^2 = 117
\]
\[
AB = \sqrt{117} \approx 11 \text{ cm}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHC:
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
\[
BC^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2
\]
\[
BC^2 = 108 + 36
\]
\[
BC^2 = 144
\]
\[
BC = 12 \text{ cm}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông CHC:
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
\[
BC^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2
\]
\[
BC^2 = 108 + 36
\]
\[
BC^2 = 144
\]
\[
BC = 12 \text{ cm}
\]

2. **Tìm các góc:**

- Để tìm góc \( \angle BAC \), ta sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC:
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}
\]
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{117 + 81 - 144}{2 \cdot \sqrt{117} \cdot 9}
\]
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{54}{2 \cdot \sqrt{117} \cdot 9}
\]
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{54}{18 \cdot \sqrt{117}}
\]
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{3}{\sqrt{117}}
\]
\[
\angle BAC \approx 30^\circ
\]

- Góc \( \angle ABC \) có thể tính bằng cách sử dụng định lý sin:
\[
\sin(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} \cdot \sin(60^\circ)
\]
\[
\sin(\angle ABC) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\sin(\angle ABC) \approx 0.94
\]
\[
\angle ABC \approx 70^\circ
\]

- Góc \( \angle ACB \) có thể tính bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác:
\[
\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC
\]
\[
\angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 70^\circ
\]
\[
\angle ACB = 80^\circ
\]

Vậy, độ dài các cạnh và các góc của tam giác ABC là:
- \( AB \approx 11 \text{ cm} \)
- \( BC = 12 \text{ cm} \)
- \( AC = 9 \text{ cm} \)
- \( \angle BAC \approx 30^\circ \)
- \( \angle ABC \approx 70^\circ \)
- \( \angle ACB \approx 80^\circ \)