Để chứng minh \( S = 2001^2 + 2002^2 + 2003^2 + \ldots + 2030^2 \) không phải là số chính phương, ta sẽ phân tích tổng này theo một số tính chất của số chính phương.

Trước hết, ta cần tính tổng \( S \). Tổng này bao gồm các bình phương của các số nguyên liên tiếp từ 2001 đến 2030. Tổng của các bình phương của \( n \) số nguyên liên tiếp từ \( a \) đến \( a+n-1 \) được tính bằng công thức:

\[
\sum_{k=a}^{a+n-1} k^2 = \sum_{k=0}^{n-1} (a+k)^2
\]

Trong trường hợp này, \( a = 2001 \) và \( n = 30 \). Do đó:

\[
S = \sum_{k=0}^{29} (2001 + k)^2
\]

Ta có thể viết lại tổng này như sau:

\[
S = \sum_{k=0}^{29} (2001^2 + 2 \cdot 2001 \cdot k + k^2)
\]

Tách riêng từng phần của tổng:

\[
S = \sum_{k=0}^{29} 2001^2 + \sum_{k=0}^{29} 2 \cdot 2001 \cdot k + \sum_{k=0}^{29} k^2
\]

Tính từng phần:

1. \(\sum_{k=0}^{29} 2001^2 = 30 \cdot 2001^2\)
2. \(\sum_{k=0}^{29} 2 \cdot 2001 \cdot k = 2 \cdot 2001 \cdot \sum_{k=0}^{29} k = 2 \cdot 2001 \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 2001 \cdot 29 \cdot 30\)
3. \(\sum_{k=0}^{29} k^2 = \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6}\)

Kết hợp lại:

\[
S = 30 \cdot 2001^2 + 2001 \cdot 29 \cdot 30 + \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6}
\]

Để chứng minh \( S \) không phải là số chính phương, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của \( S \) cho một số modulo nhỏ, chẳng hạn như modulo 3.

Xét \( 2001 \mod 3 \):

\[
2001 \equiv 2 \mod 3
\]

Các số từ 2001 đến 2030 khi chia cho 3 sẽ có các phần dư lần lượt là 2, 0, 1, 2, 0, 1, ..., 2, 0, 1.

Bình phương của các số này modulo 3 sẽ là:

\[
2^2 \equiv 1 \mod 3, \quad 0^2 \equiv 0 \mod 3, \quad 1^2 \equiv 1 \mod 3
\]

Do đó, tổng các bình phương modulo 3 sẽ là tổng của 10 số 1, 10 số 0 và 10 số 1:

\[
S \equiv 10 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 10 \cdot 1 \equiv 20 \equiv 2 \mod 3
\]

Vì \( S \equiv 2 \mod 3 \), mà một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có phần dư là 0 hoặc 1, nên \( S \) không thể là số chính phương.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( S \) không phải là số chính phương.