Để tính tổng \( E \) của dãy số:

\[ E = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{10 \cdot 11 \cdot 12} \]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản hơn. Cụ thể, ta sẽ phân tích mỗi phân số trong tổng thành các phân số có dạng:

\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \]

Ta có thể phân tích như sau:

\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2} \]

Để tìm các hệ số \( A, B, C \), ta viết lại phương trình:

\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)}{n(n+1)(n+2)} \]

Bằng cách so sánh các hệ số của các bậc của \( n \) ở tử số, ta có:

\[ 1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1) \]

Giải hệ phương trình này, ta tìm được:

\[ A = \frac{1}{2}, \quad B = -1, \quad C = \frac{1}{2} \]

Do đó:

\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \]

Áp dụng điều này vào tổng \( E \):

\[ E = \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \right) \]

Chúng ta nhận thấy rằng các phân số này sẽ triệt tiêu lẫn nhau theo kiểu teleskoping (kính viễn vọng), ngoại trừ các phần tử đầu tiên và cuối cùng. Cụ thể:

\[ E = \left( \frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2 \cdot 10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{2 \cdot 12} \right) \]

Sau khi triệt tiêu các phần tử trung gian, ta còn lại:

\[ E = \frac{1}{2} - \frac{1}{11} + \frac{1}{22} \]

Tính toán cụ thể:

\[ E = \frac{1}{2} - \frac{1}{11} + \frac{1}{22} \]

Chuyển về mẫu số chung là 22:

\[ E = \frac{11}{22} - \frac{2}{22} + \frac{1}{22} = \frac{11 - 2 + 1}{22} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11} \]

Vậy tổng \( E \) là:

\[ E = \frac{5}{11} \]