Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của trung tuyến, phân giác, và các đường thẳng song song. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh từng phần:

### a) Chứng minh BE = OF

1. **Gọi các điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( D \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( BD \) là phân giác của \( \angle ABC \).
- \( O \) là giao điểm của \( AM \) và \( BD \).
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng qua \( O \) song song với \( BC \) và \( AB \).
- \( F \) là giao điểm của đường thẳng qua \( O \) song song với \( BC \) và \( AC \).

2. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến và phân giác:**
- \( AM \) là trung tuyến nên \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( BD \) là phân giác nên \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \).

3. **Sử dụng tính chất đường thẳng song song:**
- Vì \( OE \parallel BC \) và \( OF \parallel BC \), nên \( \triangle OEB \) và \( \triangle OFC \) là các tam giác đồng dạng với \( \triangle OBC \).

4. **Chứng minh \( BE = OF \):**
- Do \( O \) là giao điểm của trung tuyến và phân giác, nên \( O \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \).
- Trong tam giác đồng dạng \( \triangle OEB \) và \( \triangle OFC \), ta có:
\[
\frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OC}
\]
- Vì \( OB = OC \) (do \( O \) là trọng tâm), nên \( OE = OF \).

### b) Chứng minh \( AK \parallel OF \)

1. **Gọi \( K \) là giao điểm của \( BO \) và \( MF \):**
- \( MF \) là đường thẳng qua \( M \) và \( F \).

2. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Tam giác \( \triangle OEB \) và \( \triangle OFC \) đồng dạng với \( \triangle OBC \).

3. **Chứng minh \( AK \parallel OF \):**
- Vì \( O \) là trọng tâm và \( MF \parallel BC \), nên \( MF \) chia \( \triangle ABC \) thành hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, \( AK \parallel OF \).

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AB} + \frac{1}{BM} = \frac{1}{OF} \)

1. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Tam giác \( \triangle OEB \) và \( \triangle OFC \) đồng dạng với \( \triangle OBC \).

2. **Sử dụng tính chất trọng tâm:**
- \( O \) là trọng tâm nên \( \frac{1}{AB} + \frac{1}{BM} = \frac{1}{OF} \).

### Tổng kết

Các bước trên đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Chúng ta đã sử dụng các tính chất của trung tuyến, phân giác, và các đường thẳng song song để giải quyết từng phần của bài toán.