Cho tam giác ABC vuông tại A. BM là tia phân giác của góc BC (M thuộc AC), kẻ MD vuông góc BC

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông, đường phân giác, và đường trung trực. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Bài toán a: Chứng minh \(BA = BD\)

1. **Tam giác vuông tại A:**
- Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), tức là \(\angle BAC = 90^\circ\).

2. **Tia phân giác \(BM\):**
- \(BM\) là tia phân giác của góc \(\angle ABC\), do đó \(M\) nằm trên cạnh \(AC\).

3. **Kẻ \(MD \perp BC\):**
- \(MD\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\).

4. **Chứng minh \(BA = BD\):**
- Trong tam giác vuông \(ABC\), \(BM\) là tia phân giác của góc \(\angle ABC\), do đó \(M\) là điểm chia cạnh \(AC\) theo tỉ lệ:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Vì \(MD \perp BC\), ta có tam giác \(BMD\) vuông tại \(D\).
- Xét tam giác vuông \(BMD\) và tam giác vuông \(BAM\):
- \(BM\) là cạnh chung.
- \(\angle BMD = \angle BAM = 90^\circ\).
- Do đó, tam giác \(BAM\) và tam giác \(BMD\) là hai tam giác vuông có cạnh chung và góc vuông tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
\[
BA = BD
\]

### Bài toán b: Chứng minh \(ME = MC\)

1. **Kẻ \(DM\) cắt \(AB\) tại \(E\):**
- \(DM\) cắt \(AB\) tại \(E\).

2. **Chứng minh \(ME = MC\):**
- Xét tam giác \(BMD\) vuông tại \(D\) và tam giác \(BAM\) vuông tại \(A\):
- \(BM\) là cạnh chung.
- \(\angle BMD = \angle BAM = 90^\circ\).
- Từ bài toán a, ta đã chứng minh \(BA = BD\).
- Do đó, tam giác \(BAM\) và tam giác \(BMD\) đồng dạng.
- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
\[
\frac{ME}{MC} = \frac{MD}{MC} = 1
\]
- Do đó, \(ME = MC\).

### Bài toán c: Chứng minh rằng \(B\) là đường trung trực của \(EC\)

1. **Chứng minh \(B\) là đường trung trực của \(EC\):**
- Từ bài toán b, ta đã chứng minh \(ME = MC\).
- Do đó, \(M\) là trung điểm của \(EC\).
- Vì \(BM\) là tia phân giác của góc \(\angle ABC\), nên \(BM\) cũng là đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\).
- Do đó, \(B\) nằm trên đường trung trực của \(EC\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán:
- \(BA = BD\)
- \(ME = MC\)
- \(B\) là đường trung trực của \(EC\)