Xét các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3^x + 3^y + 3^z là số chính phương. Chứng minh rằng x = y = z

Để chứng minh rằng \( x = y = z \) khi \( 3^x + 3^y + 3^z \) là số chính phương, ta có thể làm như sau:

Giả sử \( x \leq y \leq z \). Khi đó, ta có thể viết biểu thức \( 3^x + 3^y + 3^z \) dưới dạng:

\[ 3^x (1 + 3^{y-x} + 3^{z-x}) \]

Vì \( 3^x + 3^y + 3^z \) là số chính phương, nên \( 3^x (1 + 3^{y-x} + 3^{z-x}) \) cũng phải là số chính phương. Điều này có nghĩa là \( 1 + 3^{y-x} + 3^{z-x} \) phải là một số chính phương, vì \( 3^x \) là số chính phương chỉ khi \( x \) là số chẵn, nhưng \( 3^x \) không thể là số chính phương nếu \( x \) là số lẻ.

Xét \( 1 + 3^{y-x} + 3^{z-x} \):

1. Nếu \( y = x \) và \( z = x \), ta có:
\[ 1 + 3^{y-x} + 3^{z-x} = 1 + 3^0 + 3^0 = 1 + 1 + 1 = 3 \]
3 không phải là số chính phương.

2. Nếu \( y = x \) và \( z > x \), ta có:
\[ 1 + 3^{y-x} + 3^{z-x} = 1 + 1 + 3^{z-x} = 2 + 3^{z-x} \]
2 + 3^{z-x} không thể là số chính phương vì \( 3^{z-x} \) là số lẻ và tổng của một số lẻ và số chẵn không thể là số chính phương.

3. Nếu \( y > x \) và \( z = y \), ta có:
\[ 1 + 3^{y-x} + 3^{z-x} = 1 + 3^{y-x} + 3^{y-x} = 1 + 2 \cdot 3^{y-x} \]
1 + 2 \cdot 3^{y-x} không thể là số chính phương vì \( 2 \cdot 3^{y-x} \) là số chẵn và tổng của một số lẻ và số chẵn không thể là số chính phương.

4. Nếu \( y > x \) và \( z > y \), ta có:
\[ 1 + 3^{y-x} + 3^{z-x} \]
Trong trường hợp này, \( 3^{y-x} \) và \( 3^{z-x} \) đều là các số lẻ và tổng của hai số lẻ không thể là số chính phương.

Do đó, để \( 3^x + 3^y + 3^z \) là số chính phương, ta phải có \( x = y = z \).