Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu:

a) Chứng minh \(OA \perp BC\):

- Vì \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\), nên \(OB \perp AB\).
- Tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\), do đó \(OA\) là đường cao.
- Điểm \(C\) nằm trên đường tròn sao cho \(AC = AB\), do đó tam giác \(OAC\) cân tại \(O\).
- Đường cao từ \(O\) của tam giác cân \(OAC\) cũng là đường trung trực của \(BC\).
- Do đó, \(OA \perp BC\).

b) Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\):

- Ta đã biết \(AC = AB\) và \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\).
- Vì \(AC = AB\), nên tam giác \(OAC\) cân tại \(O\).
- Do đó, góc \(OAC = OAB\).
- Vì \(OAB\) là góc giữa bán kính và tiếp tuyến, nên \(OAB = 90^\circ\).
- Suy ra \(OAC = 90^\circ\), tức là \(AC\) vuông góc với bán kính \(OC\) tại \(C\).
- Do đó, \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(C\).

c) Chứng minh rằng: \(OH \cdot HA = HD \cdot HE\):

- Gọi \(D\) và \(E\) là giao điểm của \(OA\) với đường tròn \((O)\) (với \(D\) nằm giữa \(O\) và \(A\)).
- Theo định lý đường kính và dây cung, ta có: \(OD \cdot OA = OB^2\).
- Vì \(OB\) là bán kính của đường tròn, nên \(OB = R\).
- Do đó, \(OD \cdot OA = R^2\).
- Tương tự, \(OE \cdot OA = R^2\).
- Ta có \(OH\) là đoạn thẳng từ \(O\) vuông góc với \(BC\), và \(H\) là chân đường vuông góc từ \(O\) xuống \(BC\).
- Theo định lý đường kính và dây cung, ta có \(OH \cdot HA = HD \cdot HE\).

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.