Để giải hệ phương trình này, ta có thể đặt \( \sqrt{x} = a \) và \( \sqrt{y} = b \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = \frac{13}{36} \\
\frac{6}{a} + \frac{10}{b} = 1
\end{cases}
\]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này theo \( a \) và \( b \).

1. Nhân phương trình đầu tiên với 36 để loại mẫu:

\[
36 \left( \frac{4}{a} + \frac{3}{b} \right) = 13 \implies \frac{144}{a} + \frac{108}{b} = 13
\]

2. Nhân phương trình thứ hai với 36 để dễ dàng so sánh:

\[
36 \left( \frac{6}{a} + \frac{10}{b} \right) = 36 \implies \frac{216}{a} + \frac{360}{b} = 36
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
\frac{144}{a} + \frac{108}{b} = 13 \\
\frac{216}{a} + \frac{360}{b} = 36
\end{cases}
\]

3. Để giải hệ này, ta có thể nhân phương trình đầu tiên với 2 và phương trình thứ hai với 1 để dễ dàng loại bỏ một biến:

\[
\begin{cases}
2 \left( \frac{144}{a} + \frac{108}{b} \right) = 2 \cdot 13 \implies \frac{288}{a} + \frac{216}{b} = 26 \\
\frac{216}{a} + \frac{360}{b} = 36
\end{cases}
\]

4. Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên:

\[
\left( \frac{288}{a} + \frac{216}{b} \right) - \left( \frac{216}{a} + \frac{360}{b} \right) = 26 - 36
\]

\[
\frac{72}{a} - \frac{144}{b} = -10
\]

5. Chia cả hai vế cho 2:

\[
\frac{36}{a} - \frac{72}{b} = -5
\]

6. Giải phương trình này theo \( \frac{1}{a} \) và \( \frac{1}{b} \):

\[
\frac{36}{a} = -5 + \frac{72}{b}
\]

\[
\frac{36}{a} = \frac{72}{b} - 5
\]

7. Thay \( \frac{36}{a} \) vào phương trình đầu tiên:

\[
\frac{144}{a} + \frac{108}{b} = 13
\]

\[
4 \left( \frac{36}{a} \right) + \frac{108}{b} = 13
\]

\[
4 \left( \frac{72}{b} - 5 \right) + \frac{108}{b} = 13
\]

\[
\frac{288}{b} - 20 + \frac{108}{b} = 13
\]

\[
\frac{396}{b} - 20 = 13
\]

\[
\frac{396}{b} = 33
\]

\[
b = \frac{396}{33} = 12
\]

8. Thay \( b = 12 \) vào phương trình \( \frac{36}{a} = \frac{72}{b} - 5 \):

\[
\frac{36}{a} = \frac{72}{12} - 5
\]

\[
\frac{36}{a} = 6 - 5
\]

\[
\frac{36}{a} = 1
\]

\[
a = 36
\]

Vậy \( \sqrt{x} = 36 \) và \( \sqrt{y} = 12 \), do đó \( x = 36^2 = 1296 \) và \( y = 12^2 = 144 \).

Kết quả là \( x = 1296 \) và \( y = 144 \).