Không dùng máy tính, hãy so sánh

Để so sánh các phân số mà không dùng máy tính, ta cần quy đồng mẫu số của các phân số đó.

Các phân số cần so sánh là:
\[ \frac{-2006}{2007}, \frac{2007}{2008}, \frac{2008}{2009}, \frac{2009}{2006} \]

Ta sẽ so sánh từng cặp phân số một cách thủ công:

1. So sánh \(\frac{-2006}{2007}\) và \(\frac{2007}{2008}\):
- Quy đồng mẫu số: \(2007 \times 2008\)
- \(\frac{-2006 \times 2008}{2007 \times 2008} = \frac{-2006 \times 2008}{2007 \times 2008}\)
- \(\frac{2007 \times 2007}{2008 \times 2007} = \frac{2007^2}{2008 \times 2007}\)
- So sánh tử số: \(-2006 \times 2008\) và \(2007^2\)
- Vì \(2007^2 > -2006 \times 2008\), nên \(\frac{-2006}{2007} < \frac{2007}{2008}\)

2. So sánh \(\frac{2007}{2008}\) và \(\frac{2008}{2009}\):
- Quy đồng mẫu số: \(2008 \times 2009\)
- \(\frac{2007 \times 2009}{2008 \times 2009} = \frac{2007 \times 2009}{2008 \times 2009}\)
- \(\frac{2008 \times 2008}{2009 \times 2008} = \frac{2008^2}{2009 \times 2008}\)
- So sánh tử số: \(2007 \times 2009\) và \(2008^2\)
- Vì \(2008^2 > 2007 \times 2009\), nên \(\frac{2007}{2008} < \frac{2008}{2009}\)

3. So sánh \(\frac{2008}{2009}\) và \(\frac{2009}{2006}\):
- Quy đồng mẫu số: \(2009 \times 2006\)
- \(\frac{2008 \times 2006}{2009 \times 2006} = \frac{2008 \times 2006}{2009 \times 2006}\)
- \(\frac{2009 \times 2009}{2006 \times 2009} = \frac{2009^2}{2006 \times 2009}\)
- So sánh tử số: \(2008 \times 2006\) và \(2009^2\)
- Vì \(2009^2 > 2008 \times 2006\), nên \(\frac{2008}{2009} < \frac{2009}{2006}\)

Tóm lại, thứ tự từ bé đến lớn của các phân số là:
\[ \frac{-2006}{2007} < \frac{2007}{2008} < \frac{2008}{2009} < \frac{2009}{2006} \]