Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn biểu thức A

Biểu thức A được cho là:
\[ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) \cdot \left( \frac{2}{x} - \frac{2-x}{x(\sqrt{x+1})} \right) \]

**Bước 1: Rút gọn phần đầu tiên của biểu thức**

\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \]

Chúng ta có thể viết lại phần này như sau:
\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{(x-1)} = \frac{\sqrt{x}(x-1) + \sqrt{x}(\sqrt{x-1})}{(x-1)\sqrt{x-1}} \]

**Bước 2: Rút gọn phần thứ hai của biểu thức**

\[ \frac{2}{x} - \frac{2-x}{x(\sqrt{x+1})} \]

Chúng ta có thể viết lại phần này như sau:
\[ \frac{2}{x} - \frac{2-x}{x(\sqrt{x+1})} = \frac{2(\sqrt{x+1}) - (2-x)}{x(\sqrt{x+1})} = \frac{2\sqrt{x+1} - 2 + x}{x\sqrt{x+1}} \]

**Bước 3: Kết hợp hai phần đã rút gọn**

\[ A = \left( \frac{\sqrt{x}(x-1) + \sqrt{x}(\sqrt{x-1})}{(x-1)\sqrt{x-1}} \right) \cdot \left( \frac{2\sqrt{x+1} - 2 + x}{x\sqrt{x+1}} \right) \]

### b. Tính giá trị của A khi \( x = \frac{2}{2 - \sqrt{3}} - 2\sqrt{3} \)

Trước hết, chúng ta cần tính giá trị của \( x \):
\[ x = \frac{2}{2 - \sqrt{3}} - 2\sqrt{3} \]

Rút gọn biểu thức này:
\[ x = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} - 2\sqrt{3} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} - 2\sqrt{3} = 2(2 + \sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 4 \]

Vậy, giá trị của \( x \) là 4.

Thay \( x = 4 \) vào biểu thức đã rút gọn ở phần a để tính giá trị của A:
\[ A = \left( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4-1}} + \frac{\sqrt{4}}{4-1} \right) \cdot \left( \frac{2}{4} - \frac{2-4}{4(\sqrt{4+1})} \right) \]

\[ A = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{2}{4} - \frac{-2}{4\sqrt{5}} \right) \]

\[ A = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{5}} \right) \]

\[ A = \left( \frac{2\sqrt{3} + 2}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{5}} \right) \]

\[ A = \left( \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{5}} \right) \]

\[ A = \left( \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{5}} \right) \]

\[ A = \frac{2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{5} + 1)}{6\sqrt{5}} \]

\[ A = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{5} + 1)}{3\sqrt{5}} \]

Vậy, giá trị của A khi \( x = \frac{2}{2 - \sqrt{3}} - 2\sqrt{3} \) là:
\[ A = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{5} + 1)}{3\sqrt{5}} \]