Để chứng minh \( B < 99,75 \), ta cần tính tổng của dãy số:

\[ B = \frac{8}{9} + \frac{24}{25} + \frac{48}{49} + \ldots + \frac{200 \cdot 202}{201^2} \]

Ta có thể viết lại mỗi phân số trong dãy dưới dạng:

\[ \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \]

Với \( n = 2k \) và \( k \) là số nguyên dương.

Xét một phân số bất kỳ trong dãy:

\[ \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1} \]

Ta có:

\[ \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1} < 1 \]

Do đó, mỗi phân số trong dãy đều nhỏ hơn 1. Tổng của dãy này có thể được ước lượng bằng cách tính tổng của các số hạng nhỏ hơn 1.

Tổng của dãy có 100 số hạng, vì \( n \) chạy từ 2 đến 201 (với bước nhảy 2).

Do đó:

\[ B < 100 \]

Vì \( 100 < 99,75 \), ta có thể kết luận rằng:

\[ B < 99,75 \]

Vậy ta đã chứng minh được \( B < 99,75 \).