Để biểu thức \( N = \frac{x + 4}{3x + 5} \) là một số nguyên, thì tử số \( x + 4 \) phải chia hết cho mẫu số \( 3x + 5 \).

Gọi \( N \) là một số nguyên, ta có:
\[ N = \frac{x + 4}{3x + 5} \]
\[ x + 4 = N(3x + 5) \]
\[ x + 4 = 3Nx + 5N \]
\[ x - 3Nx = 5N - 4 \]
\[ x(1 - 3N) = 5N - 4 \]
\[ x = \frac{5N - 4}{1 - 3N} \]

Để \( x \) là một số nguyên, thì \( \frac{5N - 4}{1 - 3N} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 1 - 3N \) phải chia hết cho \( 5N - 4 \).

Xét các giá trị của \( N \) để \( x \) là một số nguyên:

1. Với \( N = 0 \):
\[ x = \frac{5 \cdot 0 - 4}{1 - 3 \cdot 0} = \frac{-4}{1} = -4 \]
Vậy \( x = -4 \) là một nghiệm.

2. Với \( N = 1 \):
\[ x = \frac{5 \cdot 1 - 4}{1 - 3 \cdot 1} = \frac{1}{-2} \]
\( x \) không phải là số nguyên.

3. Với \( N = -1 \):
\[ x = \frac{5 \cdot (-1) - 4}{1 - 3 \cdot (-1)} = \frac{-5 - 4}{1 + 3} = \frac{-9}{4} \]
\( x \) không phải là số nguyên.

4. Với \( N = 2 \):
\[ x = \frac{5 \cdot 2 - 4}{1 - 3 \cdot 2} = \frac{10 - 4}{1 - 6} = \frac{6}{-5} \]
\( x \) không phải là số nguyên.

5. Với \( N = -2 \):
\[ x = \frac{5 \cdot (-2) - 4}{1 - 3 \cdot (-2)} = \frac{-10 - 4}{1 + 6} = \frac{-14}{7} = -2 \]
Vậy \( x = -2 \) là một nghiệm.

Từ các giá trị trên, ta thấy \( x \) là số nguyên khi \( N = 0 \) hoặc \( N = -2 \).

Vậy các giá trị của \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để biểu thức \( N = \frac{x + 4}{3x + 5} \) là số nguyên là:
\[ x = -4 \text{ hoặc } x = -2 \]