Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B có số đo bằng 60°. Đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Kẻ đường vuông góc DE đến BC, E thuộc BC.

a) Tam giác BDC là tam giác gì? Vì sao?

Để xác định loại tam giác BDC, ta cần xem xét các góc của tam giác này.

- Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60°, do đó góc C = 30° (vì tổng các góc trong tam giác bằng 180°).
- Đường phân giác góc B chia góc B thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là 30°.
- Do đó, góc BDC = 30° (vì D nằm trên AC và góc DBC = 30°).

Vì tam giác BDC có góc C = 30° và góc BDC = 30°, nên góc BCD = 180° - 30° - 30° = 120°.

Tam giác BDC có một góc lớn hơn 90° (góc BCD = 120°), nên tam giác BDC là tam giác tù.

b) Chứng minh BD vuông góc với AE.

Để chứng minh BD vuông góc với AE, ta cần chứng minh góc BDA + góc ADE = 90°.

- Ta đã biết góc BDA = 30° (vì D nằm trên đường phân giác của góc B).
- DE vuông góc với BC, nên góc ADE = 90° - góc ADC.

Vì tam giác ADC là tam giác vuông tại A, góc ADC = 60° (vì góc C = 30° và góc A = 90°).

Do đó, góc ADE = 90° - 60° = 30°.

Tổng góc BDA + góc ADE = 30° + 30° = 60°.

Như vậy, BD không vuông góc với AE. Có thể có nhầm lẫn trong đề bài hoặc cách tiếp cận. Hãy kiểm tra lại các thông tin và giả thiết.

c) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BA và ED. Nếu coi một thôn có ba khu dân cư lần lượt ở vị trí điểm K, B, C, vậy cần đặt vị trí xây nhà văn hoá thôn tại điểm nào trên hình để người dân ở ba khu dân cư đều được đi quãng đường thuận lợi như nhau để đến nhà văn hoá. Giải thích rõ tại sao lại chọn điểm đó? Giả sử các khu dân cư đều có đường đi thẳng đến điểm xây nhà văn hoá.

Để người dân ở ba khu dân cư K, B, C đều đi quãng đường thuận lợi như nhau đến nhà văn hoá, ta cần tìm điểm cách đều ba điểm K, B, C. Điểm này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác KBC.
- Đường trung trực của một cạnh của tam giác là đường vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của cạnh.

Do đó, ta cần xác định các đường trung trực của các cạnh KB, KC, và BC, và tìm giao điểm của chúng. Giao điểm này chính là vị trí xây nhà văn hoá thôn.

Lý do chọn điểm này là vì từ điểm này đến ba điểm K, B, C đều có khoảng cách bằng nhau, đảm bảo quãng đường đi lại của người dân ở ba khu dân cư là thuận lợi nhất.