Để tính nhanh biểu thức \( S = \frac{5}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{5}{18 \cdot 19 \cdot 20} - 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản hơn.

Xét một phân số tổng quát trong dãy:
\[ \frac{5}{n(n+1)(n+2)} \]

Ta có thể phân tích phân số này thành các phân số đơn giản hơn bằng cách sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản:
\[ \frac{5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2} \]

Để tìm các hệ số \( A, B, C \), ta viết lại phương trình:
\[ \frac{5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)}{n(n+1)(n+2)} \]

Bằng cách so sánh hệ số của các bậc của \( n \) ở tử số, ta có hệ phương trình:
\[ A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1) = 5 \]

Giải hệ phương trình này, ta tìm được:
\[ A = \frac{5}{2}, B = -5, C = \frac{5}{2} \]

Do đó:
\[ \frac{5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{5/2}{n} - \frac{5}{n+1} + \frac{5/2}{n+2} \]

Vậy, tổng của dãy ban đầu có thể viết lại như sau:
\[ S = \sum_{n=1}^{18} \left( \frac{5/2}{n} - \frac{5}{n+1} + \frac{5/2}{n+2} \right) - 1 \]

Khi cộng các phân số này lại, ta thấy rằng nhiều hạng tử sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Cụ thể:
\[ S = \left( \frac{5/2}{1} - \frac{5}{2} + \frac{5/2}{3} \right) + \left( \frac{5/2}{2} - \frac{5}{3} + \frac{5/2}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{5/2}{18} - \frac{5}{19} + \frac{5/2}{20} \right) - 1 \]

Các hạng tử triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
\[ S = \frac{5/2}{1} + \frac{5/2}{2} - \frac{5}{19} + \frac{5/2}{20} - 1 \]

Tính các giá trị còn lại:
\[ S = \frac{5}{2} + \frac{5}{4} - \frac{5}{19} + \frac{5}{40} - 1 \]

Chuyển tất cả về mẫu số chung:
\[ S = \frac{100}{40} + \frac{50}{40} - \frac{10}{40} + \frac{5}{40} - 1 \]
\[ S = \frac{100 + 50 - 10 + 5}{40} - 1 \]
\[ S = \frac{145}{40} - 1 \]
\[ S = \frac{145}{40} - \frac{40}{40} \]
\[ S = \frac{145 - 40}{40} \]
\[ S = \frac{105}{40} \]
\[ S = \frac{21}{8} \]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[ S = \frac{21}{8} \]