Để tính tỉ số của hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền trong một tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lý về hình chiếu trong tam giác vuông.

Giả sử tam giác vuông \(ABC\) với góc vuông tại \(A\), các cạnh góc vuông là \(AB = a\) và \(AC = b\), cạnh huyền là \(BC = c\). Theo đề bài, tỉ số của hai cạnh góc vuông là \(\frac{a}{b} = \frac{4}{9}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên cạnh huyền \(BC\). Khi đó, \(AH\) vuông góc với \(BC\), và \(AH\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(HC\).

Theo định lý về hình chiếu trong tam giác vuông:
- Hình chiếu của \(AB\) lên \(BC\) là \(HC\).
- Hình chiếu của \(AC\) lên \(BC\) là \(BH\).

Ta có:
\[ HC = \frac{a^2}{c} \]
\[ BH = \frac{b^2}{c} \]

Do đó, tỉ số của hai hình chiếu này là:
\[ \frac{HC}{BH} = \frac{\frac{a^2}{c}}{\frac{b^2}{c}} = \frac{a^2}{b^2} \]

Thay tỉ số \(\frac{a}{b} = \frac{4}{9}\) vào:
\[ \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81} \]

Vậy, tỉ số của hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là \(\frac{16}{81}\).