Để chứng minh tứ giác AEIB là hình thang, ta cần chứng minh rằng AE song song với BI.

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\), đường phân giác \(AD\). Đường vuông góc với \(AD\) tại \(D\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(F\) và \(E\). Trên cạnh \(DC\) lấy điểm \(I\) sao cho \(DI = DB\).

1. **Chứng minh \( \triangle ADF \cong \triangle ADE \)**:
- \(AD\) là đường phân giác của \(\angle BAC\), nên \(\angle BAD = \angle CAD\).
- \(AD\) là đường vuông góc chung của \(DF\) và \(DE\), nên \(\angle ADF = \angle ADE = 90^\circ\).
- \(AD\) là cạnh chung của hai tam giác \(ADF\) và \(ADE\).

Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[
\triangle ADF \cong \triangle ADE
\]

2. **Chứng minh \(DF = DE\)**:
- Từ \(\triangle ADF \cong \triangle ADE\), ta có \(DF = DE\).

3. **Chứng minh \( \triangle BDF \cong \triangle IDE \)**:
- \(DI = DB\) (theo giả thiết).
- \(DF = DE\) (đã chứng minh ở trên).
- \(\angle BDF = \angle IDE = 90^\circ\) (do \(DF\) và \(DE\) vuông góc với \(AD\)).

Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[
\triangle BDF \cong \triangle IDE
\]

4. **Chứng minh \( \angle AEB = \angle AIB \)**:
- Từ \(\triangle BDF \cong \triangle IDE\), ta có \(\angle DBF = \angle DIE\).
- Do \(DF\) và \(DE\) vuông góc với \(AD\), nên \(\angle DBF = \angle DIE = 90^\circ\).

Vậy, ta có:
\[
\angle AEB = \angle AIB
\]

5. **Chứng minh \(AE \parallel BI\)**:
- Từ \(\angle AEB = \angle AIB\), ta suy ra \(AE \parallel BI\) (do hai góc này là góc so le trong).

Vậy, tứ giác \(AEIB\) là hình thang.