Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

**Phần a: Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBC**

1. Xét tam giác ABD và tam giác EBC:
- Góc ADB và góc EBC là các góc đối đỉnh, nên chúng bằng nhau.
- BD là tia phân giác của góc ABC, nên góc ABD = góc DBC.
- BE = BA (theo giả thiết).

2. Do đó, tam giác ABD và tam giác EBC có:
- Góc ABD = góc DBC (theo phân giác).
- Góc ADB = góc EBC (góc đối đỉnh).
- BE = BA (theo giả thiết).

3. Theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta có tam giác ABD = tam giác EBC.

**Phần b: Chứng minh DE = AD và DE cắt BC**

1. Từ phần a, ta có tam giác ABD = tam giác EBC, nên các cạnh tương ứng bằng nhau:
- AD = DE.

2. Do đó, DE là đoạn thẳng nối từ D đến E và cắt BC tại điểm E.

**Phần c: Chứng minh BD là đường trung trực của AE**

1. Ta đã biết tam giác ABD = tam giác EBC, do đó:
- AD = DE.
- Góc ABD = góc DBC.

2. Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên BD cũng là đường trung trực của đoạn thẳng AE (do AD = DE và góc ABD = góc DBC).

**Phần d: Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng**

1. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE.

2. Ta đã biết BE = BA và AF = CE, do đó:
- BE = AF.

3. Xét tam giác ABE và tam giác ADF:
- BE = AF (theo giả thiết).
- AB = AD (vì tam giác ABD = tam giác EBC).
- Góc ABE = góc ADF (góc đối đỉnh).

4. Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (C-G-C), ta có tam giác ABE = tam giác ADF.

5. Do đó, góc AEB = góc ADF.

6. Vì góc AEB và góc ADF là các góc đối đỉnh, nên chúng bằng nhau và điểm D nằm trên đường thẳng AE.

7. Do đó, ba điểm F, D, E thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.