Tam giác ABC vuông cân ở A, trên AB lấy M; trên AC lấy N sao cho AM = AN. Từ A; M kẻ vuông góc với BN cắt BC lần lượt tại D; E

Để chứng minh \(DC = DE\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông cân và các đường vuông góc.

1. **Tam giác ABC vuông cân tại A:**
- \(AB = AC\)
- \(\angle BAC = 90^\circ\)

2. **Điểm M và N:**
- \(M\) nằm trên \(AB\) và \(N\) nằm trên \(AC\) sao cho \(AM = AN\).

3. **Đường vuông góc từ A và M:**
- Từ \(A\) kẻ đường vuông góc với \(BN\) cắt \(BC\) tại \(D\).
- Từ \(M\) kẻ đường vuông góc với \(BN\) cắt \(BC\) tại \(E\).

Chúng ta cần chứng minh rằng \(DC = DE\).

### Bước 1: Xét tam giác \(ABN\) và \(ACN\)
- Vì \(AM = AN\) và \(AB = AC\), tam giác \(ABN\) và \(ACN\) là hai tam giác cân tại \(A\).
- Do đó, \(\angle BAN = \angle CAN\).

### Bước 2: Xét tam giác \(ABD\) và \(ACD\)
- Vì \(AD\) vuông góc với \(BN\), tam giác \(ABD\) và \(ACD\) là hai tam giác vuông tại \(D\).
- Do \(AB = AC\), tam giác \(ABD\) và \(ACD\) là hai tam giác vuông cân tại \(D\).

### Bước 3: Xét tam giác \(BME\) và \(CME\)
- Vì \(ME\) vuông góc với \(BN\), tam giác \(BME\) và \(CME\) là hai tam giác vuông tại \(E\).
- Do \(BM = CM\), tam giác \(BME\) và \(CME\) là hai tam giác vuông cân tại \(E\).

### Bước 4: Chứng minh \(DC = DE\)
- Xét tam giác \(BDC\) và \(CDE\):
- \(BD\) và \(DE\) đều là các đoạn thẳng vuông góc với \(BN\) tại \(D\) và \(E\) tương ứng.
- Do \(BD = DE\) (vì tam giác \(ABD\) và \(ACD\) là hai tam giác vuông cân tại \(D\)).

Vậy, \(DC = DE\) do các đoạn thẳng này đều là các đoạn thẳng vuông góc từ các điểm đối xứng nhau trên các cạnh của tam giác vuông cân.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng \(DC = DE\).