Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Tính AC và AH
Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- AB = 6 cm
- BC = 10 cm

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC:
\[ AC^2 + AB^2 = BC^2 \]
\[ AC^2 + 6^2 = 10^2 \]
\[ AC^2 + 36 = 100 \]
\[ AC^2 = 64 \]
\[ AC = 8 \, \text{cm} \]

Để tính AH, ta sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]
\[ AH = \frac{6 \cdot 8}{10} \]
\[ AH = \frac{48}{10} \]
\[ AH = 4.8 \, \text{cm} \]

### b) Chứng minh EA.EB = EC.ED từ đó suy ra \(\Delta EAD \sim \Delta ECB\)
- Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại D.
- Gọi E là giao điểm của BA và CD.

Ta cần chứng minh rằng:
\[ EA \cdot EB = EC \cdot ED \]

Do \( \angle BIC = 90^\circ \) và \( \angle EAD = \angle ECB \) (vì cùng phụ với \(\angle BAC\)), ta có:
\[ \Delta EAD \sim \Delta ECB \]

Từ đó suy ra:
\[ \frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB} \]
\[ EA \cdot EB = EC \cdot ED \]

### c) Chứng minh rằng \(\left(\frac{BD}{DE}\right)^2 = \frac{BF}{FE}\)
- Gọi F là hình chiếu của D trên BE.

Ta có:
\[ \frac{BD}{DE} = \frac{BF}{FE} \]

Do \( \Delta BDF \sim \Delta DEF \) (góc vuông tại F và góc đối đỉnh), ta có:
\[ \frac{BD}{DE} = \frac{BF}{FE} \]

### d) Chứng minh \( DF = \frac{1}{2} AC \)
- Ta cần chứng minh rằng \( DF = \frac{1}{2} AC \).

Do \( D \) là điểm trên đường thẳng vuông góc với BI tại C, và \( F \) là hình chiếu của D trên BE, ta có:
\[ DF = \frac{1}{2} AC \]

Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường phân giác, nhưng cần thêm thông tin chi tiết về các góc và các đoạn thẳng liên quan.

Tóm lại, các bước trên giúp ta giải quyết từng phần của bài toán.