Cho tam giác ABC vuông tại A, d là đường thẳng bất kỳ đi qua A và không cắt cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên d

Để tìm vị trí của đường thẳng \(d\) sao cho \(BE + CF\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần phân tích các yếu tố hình học liên quan đến tam giác vuông \(ABC\) và các hình chiếu vuông góc của \(B\) và \(C\) lên \(d\).

Giả sử \(A\) là gốc tọa độ, \(B\) có tọa độ \((0, b)\) và \(C\) có tọa độ \((c, 0)\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) có phương trình dạng \(y = kx\).

1. **Tìm tọa độ của \(E\) và \(F\):**
- Hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(d\):
\(B(0, b)\) chiếu lên \(d\) tại \(E\). Gọi tọa độ của \(E\) là \((x_1, kx_1)\). Vì \(E\) là hình chiếu vuông góc, vector \(\overrightarrow{BE}\) phải vuông góc với vector chỉ phương của \(d\), tức là:
\[
\overrightarrow{BE} = (x_1, kx_1 - b)
\]
Vector chỉ phương của \(d\) là \((1, k)\). Điều kiện vuông góc là:
\[
x_1 \cdot 1 + (kx_1 - b) \cdot k = 0 \implies x_1 + k^2 x_1 - bk = 0 \implies x_1(1 + k^2) = bk \implies x_1 = \frac{bk}{1 + k^2}
\]
Do đó, tọa độ của \(E\) là:
\[
E\left(\frac{bk}{1 + k^2}, \frac{bk^2}{1 + k^2}\right)
\]

- Hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(d\):
\(C(c, 0)\) chiếu lên \(d\) tại \(F\). Gọi tọa độ của \(F\) là \((x_2, kx_2)\). Tương tự như trên:
\[
\overrightarrow{CF} = (x_2 - c, kx_2)
\]
Điều kiện vuông góc là:
\[
(x_2 - c) \cdot 1 + kx_2 \cdot k = 0 \implies x_2 - c + k^2 x_2 = 0 \implies x_2(1 + k^2) = c \implies x_2 = \frac{c}{1 + k^2}
\]
Do đó, tọa độ của \(F\) là:
\[
F\left(\frac{c}{1 + k^2}, \frac{ck}{1 + k^2}\right)
\]

2. **Tính độ dài \(BE\) và \(CF\):**
- Độ dài \(BE\):
\[
BE = \sqrt{\left(\frac{bk}{1 + k^2}\right)^2 + \left(\frac{bk^2 - b}{1 + k^2}\right)^2} = \frac{b}{\sqrt{1 + k^2}}
\]

- Độ dài \(CF\):
\[
CF = \sqrt{\left(\frac{c - c}{1 + k^2}\right)^2 + \left(\frac{ck}{1 + k^2}\right)^2} = \frac{c}{\sqrt{1 + k^2}}
\]

3. **Tổng \(BE + CF\):**
\[
BE + CF = \frac{b}{\sqrt{1 + k^2}} + \frac{c}{\sqrt{1 + k^2}} = \frac{b + c}{\sqrt{1 + k^2}}
\]

Để \(BE + CF\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \(\sqrt{1 + k^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \(k = 0\), tức là đường thẳng \(d\) trùng với trục hoành (trục \(x\)).

Vậy, vị trí của đường thẳng \(d\) để \(BE + CF\) đạt giá trị lớn nhất là đường thẳng \(d\) trùng với trục hoành.