Tam giác ABC. Vẽ P trong tam giác thỏa mãn góc PBA = góc PCA. M là trung điểm BC

Để chứng minh \( ME = MF \), ta làm theo các bước sau:

1. **Xét tam giác \( \triangle ABC \) với \( P \) là điểm trong tam giác thỏa mãn \( \angle PBA = \angle PCA \)**:
- Điều này có nghĩa là \( P \) nằm trên đường phân giác của góc \( \angle BAC \).

2. **Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( P \) lên \( AB \) và \( AC \)**:
- Do đó, \( PE \perp AB \) và \( PF \perp AC \).

3. **Xét tam giác \( \triangle PEF \)**:
- \( PE \) và \( PF \) là các đường cao của tam giác \( \triangle PEF \).

4. **Xét tam giác \( \triangle PBC \) với \( M \) là trung điểm của \( BC \)**:
- \( PM \) là đường trung bình của tam giác \( \triangle PBC \).

5. **Sử dụng tính chất đối xứng của tam giác**:
- Do \( P \) nằm trên đường phân giác của \( \angle BAC \), nên \( P \) cũng là điểm đối xứng của \( M \) qua trục phân giác của \( \angle BAC \).

6. **Chứng minh \( ME = MF \)**:
- Xét hai tam giác vuông \( \triangle PME \) và \( \triangle PMF \):
- \( PM \) là cạnh chung.
- \( \angle PME = \angle PMF = 90^\circ \).
- \( PE = PF \) (do \( P \) nằm trên đường phân giác của \( \angle BAC \)).

- Do đó, hai tam giác \( \triangle PME \) và \( \triangle PMF \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

- Suy ra \( ME = MF \).

Vậy, ta đã chứng minh được \( ME = MF \).