Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \( M = x^{2023} + y^{2023} + z^{2023} \) với các điều kiện \( x + y + z = 3 \) và \( x^4 + y^4 + z^4 = 3xyz \).

Trước hết, ta sẽ xem xét các điều kiện đã cho. Ta có thể thử các giá trị đặc biệt của \( x, y, z \) để tìm ra một bộ số thỏa mãn các điều kiện này.

Giả sử \( x = y = z \). Khi đó:
\[ x + y + z = 3 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \]

Thay \( x = 1 \) vào điều kiện thứ hai:
\[ x^4 + y^4 + z^4 = 3xyz \Rightarrow 1^4 + 1^4 + 1^4 = 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \Rightarrow 3 = 3 \]

Điều này đúng, do đó \( x = y = z = 1 \) là một bộ số thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Bây giờ, ta tính giá trị của \( M \):
\[ M = x^{2023} + y^{2023} + z^{2023} = 1^{2023} + 1^{2023} + 1^{2023} = 1 + 1 + 1 = 3 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là:
\[ \boxed{3} \]