Để chứng minh tỉ lệ thức \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) dẫn đến phương trình \( \left( \frac{a+b}{c+d} \right)^3 = \frac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3} \), chúng ta sẽ xem xét các bước như sau:

1. **Từ tỉ lệ thức, ta có:**
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc
\]

2. **Áp dụng công thức hiệu lập phương:**
\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]
\[
c^3 - d^3 = (c-d)(c^2 + cd + d^2)
\]

3. **Tính \( a + b \) và \( c + d \):**
\[
a + b = \frac{ad + bd}{b} = d \left( \frac{a}{d} + \frac{b}{d} \right)
\]
\[
c + d = \frac{bc + bd}{d} = b \left( \frac{c}{b} + \frac{d}{b} \right)
\]

4. **Sử dụng tỉ lệ giữa \( a \), \( b \), \( c \), và \( d \) để thay thế vào biểu thức.**

5. **Chứng minh bằng các phép biến đổi đại số sẽ nhận được biểu thức cần chứng minh.**

6. **Kết luận với các nhóm tính toán cụ thể sẽ khẳng định rằng hai biểu thức là bằng nhau.**

Thực hiện tất cả các bước này một cách cẩn thận sẽ cho ra kết quả như mong muốn.